👤

Sagot :

Salut, alors déjà pour les calculs :

[tex]\frac{1}{2}[/tex] - [tex]\frac{1}{3}[/tex]  = [tex]\frac{3}{6}[/tex] - [tex]\frac{2}{6}[/tex]  = [tex]\frac{1}{6}[/tex]

[tex]\frac{1}{3}[/tex] - [tex]\frac{1}{4}[/tex]  = [tex]\frac{1}{2}[/tex] -

[tex]\frac{1}{4}[/tex] - [tex]\frac{1}{5}[/tex]  = [tex]\frac{5}{20}[/tex] - [tex]\frac{4}{20}[/tex]  = [tex]\frac{1}{20}[/tex]

Le calcul suivant en suivant la logique serait donc :

[tex]\frac{1}{5}[/tex] - [tex]\frac{1}{6}[/tex]  = [tex]\frac{6}{30}[/tex] - [tex]\frac{5}{30}[/tex]  = [tex]\frac{1}{30}[/tex]

Le modèle qui semble apparaitre serait donc :

On soustrait 1 divisé par un entier à 1 divisé par le nombre entier précédent

Ce qui peut s'écrire mathématiquement :  [tex]\frac{1}{n}[/tex] - [tex]\frac{1}{(n+1)}[/tex]  avec n ∈ ℕ*

On remarque aussi que le résultat de chaque calcul est égal à 1 divisé par le produit des deux dénominateurs (par exemple :  [tex]\frac{1}{2}[/tex] - [tex]\frac{1}{3}[/tex]  = [tex]\frac{1}{2*3}[/tex] )

La formule que l'on pourrait établir serait donc :  [tex]\frac{1}{n}[/tex] - [tex]\frac{1}{n+1}[/tex]  = [tex]\frac{1}{n*(n+1)}[/tex] avec n ∈ ℕ*

Démonstration :

Soit n un entier naturel non nul,

[tex]\frac{1}{n}[/tex] - [tex]\frac{1}{n+1}[/tex] =  [tex]\frac{1*(n+1)}{n*(n+1)}[/tex] - [tex]\frac{1*n}{n*(n+1)}[/tex] =  [tex]\frac{n+1}{n*(n+1)}[/tex] - [tex]\frac{n}{n*(n+1)}[/tex]  =  [tex]\frac{n+1-n}{(n+1)*n}[/tex] = [tex]\frac{1}{n*(n+1)}[/tex]

N'hésite pas si tu as des questions :)

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