Salut, alors déjà pour les calculs :
[tex]\frac{1}{2}[/tex] - [tex]\frac{1}{3}[/tex] = [tex]\frac{3}{6}[/tex] - [tex]\frac{2}{6}[/tex] = [tex]\frac{1}{6}[/tex]
[tex]\frac{1}{3}[/tex] - [tex]\frac{1}{4}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] -
[tex]\frac{1}{4}[/tex] - [tex]\frac{1}{5}[/tex] = [tex]\frac{5}{20}[/tex] - [tex]\frac{4}{20}[/tex] = [tex]\frac{1}{20}[/tex]
Le calcul suivant en suivant la logique serait donc :
[tex]\frac{1}{5}[/tex] - [tex]\frac{1}{6}[/tex] = [tex]\frac{6}{30}[/tex] - [tex]\frac{5}{30}[/tex] = [tex]\frac{1}{30}[/tex]
Le modèle qui semble apparaitre serait donc :
On soustrait 1 divisé par un entier à 1 divisé par le nombre entier précédent
Ce qui peut s'écrire mathématiquement : [tex]\frac{1}{n}[/tex] - [tex]\frac{1}{(n+1)}[/tex] avec n ∈ ℕ*
On remarque aussi que le résultat de chaque calcul est égal à 1 divisé par le produit des deux dénominateurs (par exemple : [tex]\frac{1}{2}[/tex] - [tex]\frac{1}{3}[/tex] = [tex]\frac{1}{2*3}[/tex] )
La formule que l'on pourrait établir serait donc : [tex]\frac{1}{n}[/tex] - [tex]\frac{1}{n+1}[/tex] = [tex]\frac{1}{n*(n+1)}[/tex] avec n ∈ ℕ*
Démonstration :
Soit n un entier naturel non nul,
[tex]\frac{1}{n}[/tex] - [tex]\frac{1}{n+1}[/tex] = [tex]\frac{1*(n+1)}{n*(n+1)}[/tex] - [tex]\frac{1*n}{n*(n+1)}[/tex] = [tex]\frac{n+1}{n*(n+1)}[/tex] - [tex]\frac{n}{n*(n+1)}[/tex] = [tex]\frac{n+1-n}{(n+1)*n}[/tex] = [tex]\frac{1}{n*(n+1)}[/tex]
N'hésite pas si tu as des questions :)
