Bonsoir,
On va d'abord chercher l'équation d'une tangente à Cf au point d'abscisse a:
T1: y = f'(a)*(x-a) + f(a)
T1: y = 2a*(x-a) + a²
T1: y = 2ax - 2a² + a²
T1: y = 2ax - a²
On chercher ensuite l'équation d'une tangente à Cg au point d'absicsse b:
T2: y = g'(b)*(x - b) + g(b)
T2: y = [tex]-\frac{1}{b^{2} }[/tex] * (x - b) + [tex]\frac{1}{b}[/tex]
T2: y = [tex]\frac{-1}{b^{2} }*x + \frac{1}{b} + \frac{1}{b}[/tex]
T2: y = [tex]\frac{-1}{b^{2} }x +\frac{2}{b}[/tex]
Puisque l'on cherche une tangente commune aux 2 courbes cela signifie que la tangente en b de Cg à la même équation que celle en a
or une tangente est une droite et une droite a pour équation y = Ax + B
Pour T1, A est 2a et pour T2, A est -1/b²
Pour T1, B est -a² et pour T2, B est 2/b
il faut donc résoudre un système, tel que A=A et B=B:[tex]\left \{ {{2a=\frac{-1}{b^{2} } } \atop {-a^{2} =\frac{2}{b} }} \right. = \left \{ {{a=\frac{-1}{2b^{2} } } \atop {-a^{2} =\frac{2}{b} }} \right. = \left \{ {{a=\frac{-1}{2b^{2} } } \atop {\frac{-1}{4b^{4} }= \frac{2}{b} }} \right. = \left \{ {{a=\frac{-1}{2b^{2} } } \atop {\frac{-1}{4b^{3} }= 2 }} \right. = \left \{ {{a=\frac{-1}{2b^{2} } } \atop {4b^{3}= \frac{-1}{2} }} \right. = \left \{ {{a=\frac{-1}{2b^{2} } } \atop {b^{3}= \frac{-1}{8} }} \right. = \left \{ {{a=-2} \atop {b=-1/2}} \right.[/tex]
Puis on remplace:
T1: y = 2ax - a² et on sait que a = -2 donc:
y = 2*(-2)*x - (-2)²
y = -4x - 4
Donc l'équation de la tengente commune de Cf et Cg est T: y = -4x - 4
Bonne soirée