Bonjour
Vérifier que les nombres suivants sont des carrés partaits ( un carré parfait est le carré d'un nombre entier ) :
2 X3X4X5+1
= 6 x 20 + 1
= 120 + 1
= 121
= 11^2
3X4X5X6+1
= 12 x 30 + 1
= 360 + 1
= 361
= 19
4×5×6×7+1
= 20 x 42 + 1
= 840 + 1
= 841
= 29
2) On se propose d'étudier le cas général : « Lorsque l'on augmente de 1 le produit de quatre nombres consécutifs, obtient-on un carré partait ? »
a) Soit n un entier . Montrer que (n + 1) (n + 2) = n(n + 3) + 2.
(n + 1) (n + 2) = n^2 + 2n + n + 2
(n + 1) (n + 2) = n^2 + 3n + 2
(n + 1) (n + 2) = n(n + 3) + 2
b) En déduire que n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 est un carre partait.
n x (n + 1) x (n + 2) x (n + 3) + 1
= n(n + 3) x [n(n + 3) + 2)] + 1
= n^2 x (n + 3)^2 + 2n(n + 3) + 1
= [n(n + 3)]^2 + 2 x n(n + 3) x 1 + 1^2
= [n(n + 3) + 1]^2