Réponse :
Explications étape par étape :
Pour dérivée, il faut connaitre pas mal de formules, dans ces exercices on a des dérivées du type u * v (avec u et v des fonctions), u ° v (formules de fonctions composés) et d'autres plus classiques (comme k*x (avec k un nombre réel) ).
f(x) = [tex]\sqrt{3} x^{2}[/tex] - πx + [tex]\frac{1}{3}[/tex]
L'ensemble de définition de f est R, f est dérivable sur R et pour tout x appartenant à R
Je vais détaille pas mal cette dérivée puis je détaillerais que les calculs important
f'(x) = ([tex]\sqrt{3} x^{2}[/tex] )' - (πx)' + ([tex]\frac{1}{3}[/tex])'
f'(x) = [tex]2\sqrt{3} x[/tex] - π + 0
f'(x) = [tex]2\sqrt{3} x[/tex] - π
/ dérivée de [tex]x^{2}[/tex] = 2x, k*x = k et k = 0 (avec k∈R) /
g(x) = (2[tex]x^{2}[/tex] - x + 1)(-7x + 8)
g est de la forme u * v donc on va utiliser la formule (u*v)'= u'v + uv'
g'(x) = (4x - 1)(-7x + 8) + (2[tex]x^{2}[/tex] - x + 1)(-7)
g'(x) = -28[tex]x^{2}[/tex] + 32x + 7x - 8 - 14[tex]x^{2}[/tex] + 7x - 7 (On développe)
g'(x) = -42[tex]x^{2}[/tex] + 46x - 15 (On réduit)
h(x) = [tex]\frac{-8}{x^{2}+5}[/tex]
h est de la forme u / v donc on va utiliser la formule (u/v)'= [tex]\frac{u'v - uv'}{v^{2}}[/tex]
L'ensemble de définition de g est R (car [tex]x^{2} + 5[/tex] ne peut pas être nul), g est dérivable sur R et pour tout x appartenant à R
h'(x) = [tex]\frac{0(x^{2} + 5) - (-8)(2x + 0)}{(x^{2} +5)^{2} }[/tex]
h'(x) = [tex]\frac{16x}{(x^{2} +5)^{2} }[/tex]
g(x) = [tex]\frac{x^{2}+3x - 7}{x+5}[/tex]
L'ensemble de définition de g est R\{-5} (car [tex]x + 5[/tex] est nul quand x = -5), g est dérivable sur R\{-5} et pour tout x appartenant à R\{-5}
g est de la forme u / v donc on va utiliser la formule (u/v)'= [tex]\frac{u'v - uv'}{v^{2}}[/tex]
g'(x) = [tex]\frac{(2x +3)(x+5) - (x^{2} +3x - 7)(1 + 0)}{(x+5)^{2} }[/tex]
g'(x) = [tex]\frac{2x^{2} + 10x + 3x + 15 - x^{2} - 3x +7}{(x+5)^{2} }[/tex]
g'(x) = [tex]\frac{x^{2}+10x+22}{(x+5)^{2} }[/tex]
i(x) = [tex]\sqrt{2x^{4} + 5}[/tex]
i est de la forme [tex]\sqrt{u}[/tex] et ([tex]\sqrt{u}[/tex] )' = [tex]\frac{u'}{2\sqrt{u} }[/tex]
L'ensemble de définition de i est R (car [tex]2x^{4} + 5[/tex] est toujours positif), g est dérivable sur R et pour tout x appartenant à R
i'(x) = [tex]\frac{8x^{3} }{2\sqrt{2x^{4} + 5 } }[/tex]
i'(x) = [tex]\frac{4x^{3} }{\sqrt{2x^{4} + 5 } }[/tex]
j(x) = [tex]2x(3x +1)^{5}[/tex]
j est de la forme u * v et a un des facteurs de la forme [tex]u^{n}[/tex]et
([tex]u^{n}[/tex])' = n * u' * [tex]u^{n-1}[/tex]
L'ensemble de définition de j est R (car n∈Z et n>0), g est dérivable sur R et pour tout x appartenant à R
j'(x) = [tex]2(3x+1)^{5} + 2x(5 * 3 * (3x + 1)^{4} )[/tex]
j'(x) = [tex]2(3x+1)^{5} + 2x(15(3x + 1)^{4} )[/tex]
j'(x) = [tex]2(3x+1)^{5} + 30x(3x + 1)^{4}[/tex]
j'(x) = 2([tex](3x+1)^{5} + 15x(3x + 1)^{4}[/tex])
voila voila
Bonne soirée
