Bonjour,
1) je note * pour l'étoile en rouge
0 * 0 = 2; -1 * 0 = 1; -2 * 3 = -4; -1 * -1 = 3
2) je note ˣ pour étoile en puissance
1ˣ² = 1 * 1 = 3
1ˣ³ = (1 * 1) * 1 = 3 * 1 = 5
(-1)ˣ³ = (-1 * -1) * -1 = 3 * -1 = -1
3) uₙ = 1ˣⁿ pour n ≥ 2
a) u₂ = 1ˣ² = 3
u₃ = 1ˣ³ = 5
u₄ = 1ˣ⁴ = ((1 * 1) * 1) * 1 = 5 * 1 = 7
b) uₙ₊₁ = 1ˣ ⁿ⁺¹ = 1ˣⁿ * 1 = 1ˣⁿx1 + 2 = 1ˣⁿ + 2 = uₙ + 2
c) uₙ₊₁ - uₙ = 2
⇒ (uₙ) est une suite arithmétique de raison r = 2 et de 1er terme u₂ = 3.
⇒ uₙ = u₂ + (n - 2).r = 3 + 2(n - 2) = 2n - 1
d) 1ˣⁿ = 2021
⇔ 2n - 1 = 2021 ⇒ n = 1011
4) vₙ = 2ˣⁿ pour n ≥ 2
v₂ = 2ˣ² = 2 * 2 = 2x2 + 2 = 6
vₙ₊₁ = 2ˣ ⁿ⁺¹ = 2ˣⁿ * 2 = 2ˣⁿ x 2 + 2 = 2vₙ + 2
wₙ = vₙ + 2
a) wₙ₊₁ = vₙ₊₁ + 2 = 2vₙ + 2 + 2 = 2vₙ + 4 = 2(vₙ + 2) = 2wₙ
⇒ (wₙ) est une suite géo de raison q = 2 et de 1er terme :
w₂ = v₂ + 2 = 2ˣ² + 2 = (2 * 2) + 2 = 6 + 2 = 8
b) wₙ = w₂ x qⁿ⁻² = 8.2ⁿ⁻² = 2³.2ⁿ⁻² = 2ⁿ⁺¹
⇒ vₙ = wₙ - 2 = 2ⁿ⁺¹ - 2 = 2(2ⁿ - 1)
c) lim wₙ = lim 2ⁿ⁺¹ = +∞
et lim vₙ = lim wₙ - 2 = +∞
5) q réel > -1 et ≠ 0 et de 1
xₙ = qˣⁿ pour n ≥ 2
x₂ = qˣ² = q * q = q² + 2
et pour n = 2 :
[qⁿ(q² - q + 2) - 2q]/q(q - 1)
= [q²(q² - q + 2) - 2q]/q(q - 1)
= [q(q² - q + 2) - 2]/(q - 1)
= (q³ - q² + 2q - 2)/(q - 1)
= (q - 1)(q² + 2)/(q - 1)
= q² + 2
= x₂
La propriété est validée au rang n = 2
On suppose qu'elle est vraie au rang n, soit :
xₙ = [qⁿ(q² - q + 2) - 2q]/q(q - 1)
Au rang n+1 :
xₙ₊₁ = qˣ ⁿ⁺¹ = qˣⁿ * q = qˣⁿ x q + 2 = q.xₙ + 2
= q x [qⁿ(q² - q + 2) - 2q]/q(q - 1) + 2 d'après l'hypothèse de récurrence
= [qⁿ⁺¹(q² - q + 2) - 2q]/q(q - 1) + 2
= ... je bugue
b) lim xₙ = lim (qⁿ⁺²/q²) (termes de + haut degré) = lim qⁿ
Si -1 < q < 0, lim qⁿ = 0
Si 0 < q < 1, lim qⁿ = 0
et si q > 1, lim qⁿ = +∞
6) 0ˣⁿ = 2 ?
0ˣ² = 0 * 0 = 0x0 + 2 = 2
ok au rang 2
On suppose vrai au rang n
Au rang n+1 :
0ˣ ⁿ⁺¹ = 0ˣⁿ * 0 = 2 * 0 = 2x0 + 2 = 2
⇒ récurrence démontrée
