Réponse : le rayon de C3 est 9 cm
Explications étape par étape :
Bon, j'ai mis une figure en pièce jointe pour suivre mon raisonnement. Il est clairement alambiqué et je suis sur qu'il est possible de le simplifier avec les triangles équilatéraux formés par les tangentes et l'angle.
Mais bon, utilisez bien la pièce jointe pour suivre mon raisonnement et si vous trouvez mieux, n'hésitez pas à privilégier la solution la plus simple.
Les cercles sont inscrits dans l'angle xÔy donc : les centres de C1, C2 et C3 sont alignés sur la bissectrice de xÔy.
C1 est le centre du cercle inscrit à l'angle donc son projeté orthogonal sur (Ox) est sur le cercle. (propriété du cercle inscrit) Appelons le A.
OCA est un triangle rectangle en A : sin 30 = [tex]\frac{1}{CO}[/tex] donc [tex]C_{1}[/tex]O = 1 : sin 30° = 2
Le centre du premier cercle est à 2 cm du point O.
Soit T le point sur la tangente de C1 et C2 : OT = OC1 + C1T = 3 cm
Soit H le centre du cercle circonscrit à OAC1 : H est au milieu de [OC1] et OH =OC1 : 2 = 1 cm
[tex]\frac{OH}{OT} = \frac{1}{3}[/tex]
L'homothétie qui transforme C1 en C2 transforme H en T avec un coefficient d'agrandissement de 3. Le rayon de C2 est donc de 3 cm et celui de C3 est de 9 cm par un raisonnement analogue.
