Sagot :
Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape :
f(x)=x² e^(-x+1) sur [0;-oo[ je ne vois pas pourquoi tu as exclu le 0 sachant que l'on peut l'étudier sur R
1) si x tend vers +oo, x² tend vers +oo et e^(-x+1) tend vers0+ donc f(x) tend vers 0+ (ceci en raison des croissances comparées)
si x=0 f(x)=0
2)Dérivée f'(x)=2x*e^(-x+1)-x² e^(-x+1) =(2x-x²)e^(-x+1) ceci en vertu de la dérivée d'un produit u*v et de la dérivée de e^u(x) qui u'*e^u(x)
on peut écrire f'(x)=x(2-x)e^(-x+1)
on note que f'(x)=0 pour x=0 et x=2
3) Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 2 +oo
f'(x) 0 + 0 -
f(x) 0 C f(2) D 0+
f(2)=4/e donc >1 ceci pour la question 8
4) Equation de la tangente (T) au point d'abscisse x=4: il suffit d'appliquer la formule
(T) y=f'(4)(x-4)+f(4)=(-8/e³)(x-4)+16/e³=(-8/e³)x+48/e³
5) dérivée seconde: on applique la même formule que pour f'(x)
f"(x)=(-2x+2)e^(-x+1)-(-x²+2x)e^(-x+1)= (x²-2x-2x+2)*e^(-x+1)=(x²-4x+2)e^(-x+1)
6 et 7 ) f"(x)=0 pour les solutions de x²-4x+2=0
via delta on trouve x1=2-V2 et x²=2+V2 ce sont les abscisses des points d'inflexion
si tu veux les ordonnées il faut calculer f(2-V2)et f(2+V2) je ne pense pas qu'on les demande
La courbe est convexe sur [0; 2-V2[ concave sur ]2-V2; 2+V2[ puis convexe sur ]2+V2; +oo[
8) on note que f(0)= 0 ;que f(2)>1 et que f(+oo)=0+ la fonction étant continue et monotone sur les intervalles [0; 2] et [2; +oo[, d'après le TVI f(x)=1 a une solution sur l'intervalle [0;2] et une solution sur l'intervalle [2; +oo[
9) sur [0; 2] cette solution est évidente c'est x=1 (1²*e^0=1*1=1)
sur [2, +oo[ elle est voisine de 3,5
f(3,5)=3,5²/e^2,5=1,0055*
