Réponse :
ex.6
1) déterminer les coordonnées des vecteurs AB et CD
vec(AB) = (- 2 + 7/2 ; 5 - 2) = (3/2 ; 3)
vec(CD) = (3 - 5 ; 5/2 - 13/2) = (- 2 ; - 4)
2) en déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze
dét(vec(AB ; vec(CD)) = xy' - x'y = 3/2)*(-4) - (-2)*3 = 6 - 6 = 0
les vecteurs AB et CD sont colinéaires donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles, par conséquent, le quadrilatère ABCD est un trapèze
3) soit I(x ; y) tel que vec(IA) = 3/4vec(ID)
vec(IA) = (- 7/2 - x ; 2 - y)
vec(ID) = (3 - x ; 5/2 - y) ⇒ 3/4vec(ID) = (3/4(3 -x) ; 3/4(5/2 - y))
(- 7/2 - x ; 2 - y) = (3/4(3 -x) ; 3/4(5/2 - y))
⇔ - 7/2 - x = 3/4(3 - x) ⇔ - 7/2 - x = 9/4 - 3/4) x
⇔ - x + 3/4) x = 9/4 + 7/2 ⇔ - x/4 = 23/4 ⇔ x = - 23
2 - y = 3/4(5/2 - y) ⇔ 2 - y = 15/8 - 3/4) y ⇔ 3/4) y - y = 15/8 - 2
⇔ - y/4 = - 1/8 ⇔ y = 1/2
Donc I(- 23 ; 1/2)
4) les points I, B et C sont-ils alignés ?
vec(IC) = (5+23 ; 13/2 - 1/2) = (28 ; 6)
vec(IB) = (- 2+23 ; 5 - 1/2) = (21 ; 9/2)
dét(vec(IC) ; vec(IB)) = xy' - x'y = 28*9/2 - 21*6 = 126 - 126 = 0
les vecteurs IC et IB sont colinéaires donc les points I, B et C sont alignés
5) J milieu de (AB) ⇒ J((-7/2 - 2)/2 ; (5+2)/2) = (- 11/4 ; 7/2)
K milieu de (CD) ⇒ K((3+5)/2 ; (5/2 + 13/2)/2) = (4 ; 9/2)
démontrer alors que les points I, J et K sont alignés
vec(IK) = (4+23 ; 9/2 - 1/2) = (27 ; 4)
vec(IJ) = (- 11/4 + 23 ; 7/2 - 1/2) = (81/4 ; 3)
dét(vec(IK) ; vec(IJ)) = 27*3 - 81/4)*4 = 81-81 = 0
Les vecteurs IK et IJ sont colinéaires donc les points I, J et K sont alignés
Explications étape par étape :
