Réponse :
Explications :
Bonjour,
L’équation de la trajectoire est :
OG z (x) = - X² * g / (2 * (Vo * cos35°)² ) + X * tan35° + 0
Voir sa démonstration en bas de la page.
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Hypothèses :
g = 9.81 m/s², α = 35°, Vo = 20 m/s, distance ballon/barres = 25 m
1) Au droit des poteaux soit x = 25 m à quelle hauteur passe le ballon ?
OG z (x) = - 25² * g / (2 * (20 * cos30°)² ) + 25 * tan35° + 0 = 8.826 m
donc bien au-dessus des 3 m de la barre horizontale
2) A quelle distance le ballon atterri-t-il dans le terrain ?
OGz = 0 pour X = ? m
0 = X² * 9.81 / (2 * (20 * cos35°)²) - X * tan35°
Soit 0 = X * 9.81 / (2 * (20 * cos35°)²) - tan35°
Soit X = tan35° * (2 * (20 * cos35°)²) / 9.81 = 38.316 m
Soit 38.316 – 25 = 13.316 m derrière les barres, le ballon est-il encore dans le terrain ?
Vérifiez mes calculs !!
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Démonstration de l’équation de la trajectoire :
Système étudié : Balle, centre de gravité G
Référentiel : terrestre considéré galiléen
Vo a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oz) :
Vo x = Vo * cosα° et Vo z = Vo * sinα°
Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (ballon en chute libre) donc : ∑ Forces = P ballon
Seconde loi de Newton :
∑ Forces = P ballon = m * g = m * aG donc aG = g
Par projection sur les 2 axes du repère (O; Ox, Oz), les 2 équations différentielles du mouvement :
aG x = 0 et aG z = -g
par intégration , on a :
VG x = K1
VG z = -g * t + K2
Où K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
t = 0, VG x(0) = Vo * cosα° donc K1 = Vo * cosα°
t = 0, VG z(0) = Vo * sinα° donc K2 = Vo * sinα°
soit : VG x = Vo * cosα° et VG z = -g * t + Vo * sinα°
par intégration :
OG x = Vo * cosα° * t + K3
OG z = -1/2 * g * t² + Vo * sinα° * t + K4
Où K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
a t = 0, OG x(0) = 0 donc K3 = 0
a t = 0, OG z(0) = H (hauteur de départ du ballon) = 0
On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :
OG x = Vo * cosα° * t et
OG z = -1/2 * g * t² + Vo * sinα° * t
Le mouvement de la balle est donc composé d'un :
- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante V1 sur (Ox)
- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale non nulle sur (Oz).
Équation de la trajectoire : éliminons le temps :
OG x = Vo * cosα° * t donc t = X / (Vo * cosα°)
reportons ce temps dans OG z (x) soit :
OG z (x) = -g/2 * (X / (Vo * cosα°)² + Vo * sinα° * X / (Vo * cosα°)
OG z (x) = - X² * g / (2 * (Vo * cosα°)² ) + X * tanα°
Vérifiez mes calculs !!
