Réponse :
Explications :
Bonjour,
Système étudié : Ballon, centre de gravité G
Référentiel : terrestre considéré galiléen
Vo a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oz) :
Vo x = 0 et Vo z = Vo
Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (ballon en chute libre) donc : ∑ Forces = P ballon
Seconde loi de Newton :
∑ Forces = P ballon = m * g = m * aG donc aG = g
Par projection sur les 2 axes du repère (O; Ox, Oz), les 2 équations différentielles du mouvement :
aG x = 0 et aG z = -g
par intégration , on a :
VG x = K1
VG z = -g * t + K2
Où K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
t = 0, VG x(0) = 0 donc K1 = 0
t = 0, VG z(0) = Vo donc K2 = Vo
soit : VG x = 0 et VG z = -g * t + Vo
par intégration :
OG x = 0 + K3
OG z = -1/2 * g * t² + Vo * t + K4
Où K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
a t = 0, OG x(0) = 0 donc K3 = 0
a t = 0, OG z(0) = H (hauteur du lancer)
On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :
OG x = 0 et
OG z = -1/2 * g * t² + Vo * t + H
Hypothèses :
Vo = 8 m/s
G = 9.81 m/s²
H = hauteur du lancer = hauteur où le ballon quitte la main = hauteur de récupération du ballon = 1 m
1) Le ballon va monter, atteindre une vitesse nulle puis redescendre :
On a VG z(t) = - g * t + Vo = 0 au bout du temps t = Vo / g
Soit t montée = 8 / 9.81 = 0.8155 s
2) le ballon va monter a :
OG z = -1/2 * g * t² + Vo * t + H
OG z = -1/2 * 9.81 * (8 / 9.81)² + 8 * 8 / 9.81 + 1 = 1/2 * 8² / 9.81 + 1 = 4.26 m
Soit OG z = 4.26 m par rapport au sol. ou 3.26 m par rapport à la main
3) le ballon redescend en chute libre a vitesse initiale nulle depuis une hauteur de 1/2 * 8² / 9.81 + 1 = 4.26 m pour arriver a une hauteur de 1 m
soit OG z = -1/2 * g * t² + (1/2 * 8² / 9.81 + 1) = 1 donc 1/2 * g * t² = 1/2 * 8² / 9.81
donc t descente = √((8 / 9.81)²) = 8 / 9.81 = 0.8155 m/s
soit t aller-retour = temps de montée + temps de descente
donc t aller-retour = 0.8155 + 0.8155 = 1.631s
la double roulade dure 1.5 s environ donc a priori la gymnaste a le temps de récupérer le ballon