Bonjour,
Le triangle ABC est rectangle en B.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Donc on a :
[tex]AC^2 = AB^2 + BC^2[/tex]
Or ABCD est un rectangle car ses angles sont tous droits.
Donc AB = DC = 10
De plus, BC = BF + FC = 3 + 2 = 5
Donc AC² = 10² + 5² = 100 + 25 = 125
AC est une longueur donc AC > 0
AC = [tex]\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}[/tex]
Les droites (GF) et (AB) sont toutes les deux perpendiculaires à une même droite (CB). Donc (EF) // (AB)
De plus, G ∈ (AC) et F ∈ (BC)
D'après le théorème de Thalès, on a alors :
[tex]\frac{GC}{AC} = \frac{FC}{BC} = \frac{GF}{AB}[/tex]
Or [tex]GC = AC - AG[/tex]
Donc :
[tex]\frac{AC-AG}{AC} = \frac{FC}{BC}[/tex]
En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient :
[tex]\frac{5\sqrt{5}-AG}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{5}[/tex]
[tex]2\times5\sqrt{5} = 5(5\sqrt{5}-AG)[/tex]
[tex]10\sqrt{5} = 5 \times 5\sqrt{5} - 5\times AG[/tex]
[tex]10\sqrt{5} - 25\sqrt{5} = -5AG[/tex]
[tex]-15\sqrt{5} = -5AG[/tex]
[tex]-AG = -\frac{15\sqrt{5} }{5}[/tex]
[tex]-AG = -3\sqrt{5}[/tex]
[tex]AG = 3\sqrt{5}[/tex]
