Réponse :
Explications :
Bonjour,
L’équation de la trajectoire est :
OG z (x) = - X² * g / (2 * (Vo * cosα°)² ) + X * tanα° + H
Voir sa démonstration en bas de la page.
1) Quelle valeur de H (= hauteur du lancer) pour que le lob reste dans le terrain ?
OGz = 0 pour X = 23.8 m, α = 40° et Vo = 15 m/s
H = 23.8² * 9.81 / (2 * (15 * cos40°)² ) - 23.8 * tan40° = 1.072 m
2) Au droit du point C soit x = 11.9 + 2 = 13.9 m a quelle hauteur passe la balle ?
OG z (x) = - 13.9² * g / (2 * (15 * cos40°)² ) + 13.9 * tan40° + 1.072 = 5.56 m donc bien au-dessus des 3 m du joueur positionné en C
Conclusion : Le lob est réussi !
Vérifiez mes calculs !!
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Démonstration de l’équation de la trajectoire :
Système étudié : Balle, centre de gravité G
Référentiel : terrestre considéré galiléen
Vo a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oz) :
Vo x = Vo * cos α° et Vo z = Vo * sinα°
Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (bille en chute libre) donc : ∑ Forces = P bille
Seconde loi de Newton :
∑ Forces = P bille = m * g = m * aG donc aG = g
Par projection sur les 2 axes du repère (O; Ox, Oz), les 2 équations différentielles du mouvement :
aG x = 0 et aG z = -g
par intégration , on a :
VG x = K1
VG z = -g * t + K2
Où K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
t = 0, VG x(0) = Vo * cosα° donc K1 = Vo * cosα°
t = 0, VG z(0) = Vo * sinα° donc K2 = Vo * sinα°
soit : VG x = Vo * cosα° et VG z = -g * t + Vo * sinα°
par intégration :
OG x = Vo * cos40° * t + K3
OG z = -1/2 * g * t² + Vo * sin40° * t + K4
Où K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
a t = 0, OG x(0) = 0 donc K3 = 0
a t = 0, OG z(0) = H (hauteur du lancé)
On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :
OG x = Vo * cosα° * t et
OG z = -1/2 * g * t² + Vo * sinα° * t + H
Le mouvement de la balle est donc composé d'un :
- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante V1 sur (Ox)
- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale non nulle sur (Oz).
Équation de la trajectoire : éliminons le temps :
OG x = Vo * cosα° * t donc t = X / (Vo * cosα°)
reportons ce temps dans OG z (x) soit :
OG z (x) = -g/2 * (X / (Vo * cosα°)² + Vo * sinα° * X / (Vo * cosα°) + H
Equation de la trajectoire :
OG z (x) = - X² * g / (2 * (Vo * cosα°)² ) + X * tanα° + H
