Réponse :
109) U0 = - 3
1) démontrer que (Vn) est arithmétique de raison - 1/3
Vn+1 - Vn = 1/(Un+1 - 3) - 1/(Un - 3)
= 1/((9/6-Un) - 3) - 1/(Un - 3)
= (6 - Un)/3(Un - 3) - 3/3(Un - 3)
= (- Un + 3)/3(Un - 3)
= - (Un - 3)/3(Un - 3)
= - 1/3
Vn+1 - Vn = - 1/3 (Un) est une suite arithmétique de raison r = - 1/3
2) Vn = V0 + rn V0 = 1/(U0 - 3) = - 1/6
donc Vn = - 1/6 - 1/3) n
Vn = 1/(Un - 3) ⇔ Vn(Un - 3) = 1 ⇔ VnUn - 3Vn = 1 ⇔ VnUn = 1 + 3Vn
⇔ Un = (1+3Vn)/Vn
= (1 + 3(- 1/6 - 1/3)n)/(- 1/6 - 1/3)n)
= (1 - 1/3 - n)/(- 1/6 - 1/3)n)
= (2/3 - n)/(- 1/6 - 1/3)n)
= 1/3(2 - 3 n)/1/3(- 1/2 - n)
Un = (2 - 3 n)/(-1/2 - n)
3) lim Un = lim (2 - 3 n)/(-1/2 - n) = lim n(2/n - 3)/n(-1/2n - 1)
n→ + ∞ n → + ∞ n→+∞
lim (2/n - 3)/(-1/2n - 1)
n→ + ∞
lim 2/n = 0 et lim (-1/2n) = 0
n→ + ∞ n→+∞
Donc par quotient la lim U = 3
n → + ∞
Explications étape par étape :
