Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape :
f(x)=(x-2)^2(x^2+4x+3) il faut trouver sa dériver grâce à 2u’u pour (x-2)^2 et trouver la dérivé de x^2+4x+3 puis faire u’v+v’u mais en faisant le calcul il faut trouver un terme commun qui doit être normalement x-2 et pourvoir factoriser
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f(x) = (x-2)²(x²+4x+3)
f est dérivable sur IR
f(x) est de la forme u(x) v(x) avec
et la dérivée de (u(x) × v(x)) est (u(x) × v(x) )' = u'(x) × v(x) + u(x)× v'(x)
u(x) = (x -2)² et u'(x) = 2 (x - 2)
v(x) = x² + 4x + 3 et v'(x) = 2x + 4 = 2 (x + 2)
donc (u(x) × v(x) )' = u'(x) × v(x) + u(x)× v'(x)
donc on a (u(x) × v(x) )' = 2 (x - 2) × (x² + 4x + 3 ) + (x -2)²× 2 (x + 2)
ainsi f'(x) = 2 (x - 2) × (x² + 4x + 3 ) + (x -2)²× 2 (x + 2)
f'(x) = 2 (x - 2) (x² + 4x + 3 ) +2 (x -2)(x -2)(x + 2)
f'(x) = 2 (x - 2) ((x² + 4x + 3 ) + 2 (x -2)(x -2)(x + 2)
le facteur commun est ici souligné , on le met devant et on met le reste
derrière.
f'(x) = 2 (x - 2) ( (x² + 4x + 3 ) + (x -2)(x + 2) )
(x -2)(x + 2) est de la forme (a - b)(a + b) = a² - b² avec a = x et b = 2
et a² = x² et b² = 4 donc (x -2)(x + 2) = x² - 4
f'(x) = 2 (x - 2) ( x² + 4x + 3 + x² - 4 )
f'(x) = 2 (x - 2) ( 2x² + 4x - 1)
voila ma réponse qui j'espère t'aidera