Réponse :
1. Dans le triangle BDC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on a : CD2 = BC2 + BD2.
On a donc : BD2 = CD2 − BC2 = 8,52 − 7,52 = 72,25 − 56,25 = 16 car CD = 8,5 cm et BC = 7,5 cm.
On en déduit BD = 16−−√ = 4 cm.
La longueur BD est égale à 4 cm.
2. Deux triangles sont semblables si les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre.
Montrons donc que les longueurs des côtés du triangle BFE sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle CBD.
On remarque que :
FEBD=3,24 = 0,8 ;
FBBC=67,5 = 0,8 ;
BECD=6,88,5 = 0,8.
Les longueurs des côtés du triangle BFE sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle CBD, donc les triangles CBD et BFE sont semblables.
3. Les triangles CBD et BFE sont semblables et les angles de triangles semblables sont 2 à 2 égaux.
Le triangle BDC est rectangle en B, donc l'angle CBDˆ est un angle droit.
On en déduit que l'angle BFEˆ est aussi un angle droit, donc que Sophie a raison.
4. Calculons la mesure de l'angle BCDˆ, pour ensuite obtenir la mesure de l'angle ACDˆ.
Dans le triangle BDC rectangle en B, on a :
cos(BCDˆ)=CBCD.
On a CB = 7,5 cm et CD = 8,5 cm, donc :
cos(BCDˆ)=7,58,5 puis, à la calculatrice,
BCDˆ=cos−1(7,58,5)≈28,1∘ au dixième de degré près.
Finalement, ACDˆ = ACBˆ+BCDˆ≈ 61∘+28,1∘≈ 89,1∘ au dixième de degré près.
L'angle ACDˆ n'est donc pas un angle droit et Max a tort.
Explications étape par étape :
