Réponse :
f(x) = x² - 5 x - 14
1) montrer que ∀x ∈ R, f(x) = (x - 7)(x + 2)
f(x) = x² - 5 x - 14
Δ = 25 + 56 = 81
x1 = 5+9)/2 = 7
x2 = 6-9)/2 = - 2
f(x) = a(x - x1)(x- x2)
donc f(x) = (x - 7)(x + 2)
2) montrer que ∀x ∈ R, f(x) = (x - 5/2)² - 81/4
f(x) = x² - 5 x - 14
= x² - 5 x - 14 + 25/4 - 25/4
= (x² - 5 x + 25/4) - 81/4
= (x - 5/2)² - 81/4
3) résoudre les équations suivantes :
a) f(x) = 0 ⇔ (x - 7)(x + 2) = 0 produit nul ⇔ x - 7 = 0 ⇔ x = 7 ou x +2 = 0 ⇔ x = - 2
b) f(x) = - 14 ⇔ x² - 5 x - 14 = - 14 ⇔ x² - 5 x = 0 ⇔ x(x - 5) = 0 produit nul
⇔ x = 0 ou x - 5 = 0 ⇔ x = 5
c) f(x) = - 8 ⇔ (x - 5/2)² - 81/4 = - 8 ⇔ (x - 5/2)² - 49/4 = 0
⇔ (x - 5/2)² - (7/2)² = 0 identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b)
⇔ (x - 5/2 + 7/2)(x - 5/2 - 7/2) = 0 ⇔ (x + 1)(x - 6) = 0 produit nul
⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 ou x - 6 = 0 ⇔ x = 6
Explications étape par étape :
