Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape :
exercice 2
sur IR
f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 1
f est dérivable sur IR donc
f'(x) = 6x² - 6x - 12 = 6 ( x² - x - 2)
f' s'annule si x² - x - 2 = 0
calculons le discriminant Δ = b² - 4 ac
avec a = 1 b = - 1 c = - 2
Δ = (-1)² - 4 (1)(-2)
Δ = 1 + 8
Δ = 9>0 et √Δ = √9 =3
donc l'équation x² - x - 2 = 0 admet deux solutions
x₁ = ( - b - √Δ) /(2a) et x₂ =( - b + √Δ) /(2a)
avec a = 1 b = - 1 c = - 2
x₁ = ( - (-1) - 3)/(2(1)) et x₂ = ( - (-1) + 3)/(2(1))
x₁ = (1 - 3)/2 et x₂ = (1 + 3)/2
x₁ = (-2) /2 et x₂ = 4/2
x₁ = - 1 et x₂ = 2
x₁ = - 1 ∈ [-2; 3] et x₂ = 2 ∈ [-2; 3]
f'(x) peut s'écrire de la forme a (x - x₁)(x - x₂)
donc f'(x) = 1 (x - (-1))(x - 2) = (x +1)(x -2)
tableau de variation de f
x - 2 - 1 2 3
_____________________________________________________
x + 1 - ⊕ + +
_____________________________________________________
x - 2 - - ⊕ +
______________________________________________________
f' + ⊕ - ⊕ +
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f croissante décroissante croissante
f(-2) = 2(-2)³ - 3(-2)² - 12(-2) + 1 = - 3
f(-1) = 2(-1)³ - 3(-1)² - 12(-1) + 1 = (-2) - 3 - 12 + 1 = 8
f(2) = 2(2)³ - 3(2)² - 12(2) + 1 = - 19
f(3) = 2(3)³ - 3(3)² - 12(3) + 1 = - 8
2)
f(x) = - 10
il y a deux solutions
f(x) = 15
il y a une solution
f(x) = - 6
Il y a 3 solutions
