Bonjour,
Explications étape par étape :
S est une succession de différences de deux carrés avec une particularité pour chaque paire : b = a + 1
ce qui fait évoluer l'identité remarquable générale a² - b² vers a² - (a + 1)² = (a - a - 1) (a + a + 1) = -(2 a + 1)
Précision : a décrit les impairs de 1 à 2021, de la forme 2 k + 1 avec k de 0 à 1010.
Reprenons : a² - b² = -(2 a + 1)
a² - b² = -( 2 (2 k + 1) + 1) = -(4 k + 3)
Ecrivons l'opposé de S :
-S = 4 (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1010) + 1011 x 3
-S = 4 (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1010) + 3033
On a réussi à écrire 1 + 2 + 3 + 4 + ... comme demandé dans l'énoncé.
Terminons le calcul :
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1010 en multipliant la moyenne du premier et du dernier terme par le nombre de termes (même résultat pour 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1010)
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1010 = 0,5 (1 + 1010) x 1010 = 505 x 1011
-S = 4 x 505 x 1011 + 3033 = 1010 x 2022 + 3033 = 2022000 + 20220 + 3033 = 2045253
D'où S = -2045253
