Réponse :
2.a. Démontrer que, pour tout x réel, f '(x) = e⁻ˣ .g(x)
f(x) = x + 1 + x/eˣ et g(x) = 1 - x + eˣ
= (xeˣ + eˣ + x)/eˣ
f '(x) = [(eˣ + xeˣ + eˣ + 1)eˣ - (xeˣ + eˣ + x)eˣ]/(eˣ)²
= [(e²ˣ + xe²ˣ + e²ˣ + eˣ - xe²ˣ - e²ˣ - xeˣ]/(eˣ)²
= (e²ˣ + eˣ - xeˣ)/(eˣ)²
= eˣ(eˣ + 1 - x)/(eˣ)²
= (1 - x + eˣ)/eˣ
= (1 - x + eˣ)e⁻ˣ
donc f '(x) = e⁻ˣ(1 - x + eˣ) ⇔ f '(x) = e⁻ˣ g(x)
Explications étape par étape :
