Réponse :
bonjour, c'est un exercice classique sur les suites.
Explications étape par étape :
1a) Si 10% cessent l'utilisation il en reste 90% auxquels viennent s'ajouter 24 000 nouveaux utilisateurs donc
U(n+1)=0,9 Un+24000 suite récurrente
1b) Vn=Un-240 000
la suite Vn est géométrique si V(n+1)/Vn=constante
V(n+1)=U(n+1)-240 000=0,9Un+24000-240 000=0,9Un-216000
on note que 216000=0,9*240000 on peut factoriser 0,9
V(n+1)=0,9(Un-240000) et V(n+1)/Vn=0,9
Vn est donc une suite géométrique de raison q=0,9 et de premier terme V0=U0-240000=-180 000
Vn=-180 000*0,9^n
2a) On sait que Vn=Un-240000 par conséquent Un= Vn+240000
b) Un=24000-180000*0,9^n (réponse donnée dans l'énoncé)
3a) Il faut résoudre l'équation
Un=230 000
soit 240 000-180 000*0,9^n=230 000
-180 000*0,9^n=-10000
soit 0,9^n=1/18
on passe par le ln
n*ln,09=-ln18
n=-ln18/ln0,9=27,4 soit le 28éme mois pour atteindre 230 000utilisateurs.
b) Par contre la société n'atteindra jamais 250 000 utilisateurs car quand n tend vers +oo, 180000*0,9^n tend vers 0 et la limite de Un est 240000.
