LOLA5062
Answered

Bonjour j'ai vraiment besoin d'aide svp pour un dm de math:
Pour cela, on suppose que √2 est un nombre rationnel, c'est à dire qu'il existe deux nombres entiers naturels p et q tels que √2=p/q, où q est différent de 0 et et p/q est une fraction irréductible .
1. Montrer que p²=2p²
2. En déduire que p² est un nombre pair
3. On peut donc écrire p=2k, où k est un entier naturel quelconque .
Montrer alors que q² est un nombre pair, et donc q également
4. Montrer que l'on arrive à une contradiction

Sagot :

TRUDELMICHEL

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape :

on suppose √2 rationnel

donc

√2=p/q avec p et q premiers entre eux (ils n'ont pas de diviseur commun)

√2=p/q

2=p²/q²

p²=2q²

p² est pair

rappel si n² est pair alors n est pair

donc

p est pair

et p peut s'écire

p=2k

p²=2q²

(2k)²=2q²

4k²=2q²

q²=2k²

q² est pair

qest pair

p est pair divisible par 2

q est pair donc divisible par 2

donc p et q sont divisibles par 2

donc p et q ne sont pas premiers entre eux

or c'est le postulat de départ p et q premier entre eux donc

√2 ne peut s'écrire p/a

donc

√2 n'est pas un nombre rationnel