Réponse :
(Em) : (m + 4) x² + m x + (m - 1) = 0
a) déterminer le discriminant Δm de l'équation (Em) en fonction de m
Δm = m² - 4(m + 4)(m - 1)
= m² - 4(m² - m + 4 m - 4)
= m² - 4(m² + 3 m - 4)
= m² - 4m² - 12 m + 16
Δm = - 3 m² - 12 m + 16
b) déterminer les solutions de l'équation pour m = 0
pour m = 0 ⇒ (E0) : 4 x² - 1 = 0 ⇔ (2 x)² - 1² = 0 identité remarquable
a²-b² = (a+b)(a-b)
donc on a ; (2 x + 1)(2 x - 1) = 0 produit de facteurs nul
2 x + 1 = 0 ⇔ x = - 1/2 ou 2 x - 1 = 0 ⇔ x = 1/2
c) étudier le nombre de solutions de l'équation (Em) en fonction des valeurs de m
lorsque Δm > 0 ⇔ - 3 m² - 12 m + 16 > 0
δ = 144 + 192 = 336
m1 = 12 + √336)/- 6 = - 2 - (√336)/6 ≈ - 5.06
m2 = 12 - √336)/- 6 = - 2 + (√336)/6 ≈ 1.06
m - ∞ - 5.06 1.06 + ∞
Δm - 0 + 0 -
donc lorsque m ∈ ]- 5.06 ; 1.06[ l'équation (Em) possède 2 solutions distinctes
lorsque Δm = 0 ⇔ m = - 5.06 ou m = 1.06 l'équation (Em) possède une seule solution
lorsque Δm < 0 ⇔ m ∈ ]- ∞ ; - 5.06[U]1.06 ; + ∞[ l'équation (Em) ne possède aucune solution
