Réponse :
a) déterminer les coordonnées du point D tel que A soit le milieu du segment (BD)
soit D(x ; y) , A milieu du segment (BD) : ((x - 1)/2 ; (y - 1)/2) = (3 ; 1)
⇔ (x - 1)/2 = 3 ⇔ x - 1 = 6 ⇔ x = 7 et (y - 1)/2 = 1 ⇔ y - 1 = 2 ⇔ y = 3
donc les coordonnées de D sont : (7 ; 3)
b) on note u le vecteur 2BC, calculer les coordonnées du vecteur u
vec(BC) = (-3+1 ; 3+1) = (- 2 ; 4) ⇒ 2vec(BC) = (- 4 ; 8)
donc vec(u) = (- 4 ; 8)
c) déterminer les coordonnées du point E, image de B par la translation du vecteur u
soit E(x ; y) ; vec(BE) = vec(u) ⇔ (x + 1 ; y + 1) = (- 4 ; 8)
⇔ x + 1 = - 4 ⇔ x = - 5 et y + 1 = 8 ⇔ y = 7
les coordonnées de E sont : (- 5 ; 7)
d) démontrer que les droites (DE) et (AC) sont parallèles
vec(DE) = (- 5 - 7 ; 7 - 3) = (- 12 ; 4)
vec(AC) = (- 3 - 3 ; 3 - 1) = (- 6 ; 2)
les vecteurs DE et AC sont colinéaires ssi xy' - x'y = 0
⇔ - 12 * 2 - (- 6) * 4 = - 24 + 24 = 0
donc les vecteurs DE et AC sont colinéaires et on en déduit donc que les les droites (DE) et (AC) sont parallèles
e) calculer les coordonnées du point K, milieu du segment (DE)
xK = (-5+7)/2 = 1
yK = (7+3)/2 = 5
donc les coordonnées du point K sont : (1 ; 5)
f) démontrer que la droite (CK) est la médiatrice du segment (BE)
le produit scalaire CK.BE = 0 ⇔ xx' + yy' = 0
vec(CK) = (1+3 ; 5 - 3) = (4 ; 2)
vec(BE) = (- 5+1 ; 7+1) = (- 4 ; 8)
⇔ 4*(- 4) + 2*8 = - 16+16 = 0
Donc les droites (CK) et (BE) sont perpendiculaires
maintenant il faut montrer que C est le milieu de (BE)
x = (- 1 - 5)/2 = - 3
y = - 1 + 7)/2 = 3
donc C est milieu de (BE)
par conséquent (CK) est la médiatrice du segment (BE)
g) démontrer que ABCK est un parallélogramme
vec(CK) = (4 ; 2)
vec(BA) = (4 ; 2)
on a vec(CK) = vec(BA) donc ABCK est un parallélogramme
Explications étape par étape :
