Réponse :
Salut !
Tu ne vas pas me faire croire que tu es au lycée, si ? ;)
1.
a. Rien de bien sorcier, tu dérives ta fonction et tu montres que la dérivée est positive. Tu peux utiliser (par exemple) la croissance de la fonction exponentielle...
b. Tu appliques le théorème des valeurs intermédiaires sur le segment [0, 1]. L'unicité provient du fait que fn est strictement croissante sur ton segment.
c. Tu peux montrer que pour tout x > 0,
[tex]f_{n+1}(x) -f_n(x) = e^{-\frac{x}{n+1}} - e^{-\frac x n} > 0[/tex]
Ce qui résout ton problème quand tu sais que fn(xn) = 0.
2.
a. Tu peux réappliquer le TVI sur [0, xn] avec ta fonction fn+1 pour montrer que xn+1 existe dans cet intervalle. A fortiori il est unique dans [0,1].
b. Ta suite est décroissante et, rappelons-le, minorée par 0. Conclusion ?
3. Il manque la suite ?
Explications étape par étape :
