Réponse :
Explications étape par étape :
a)un+1= 1 /(n + 1)^2 - 1
calculons : un+1/un - 1 = 1 /[ (n+1)^2 - 1]x [n^2 -1 / 1 ] - 1
car un+1/un= un+1x(1/un) 1 / [n^2 +2n +1 -1]x [n^2 -1 ] - 1
1/[ n^2 + 2n ]x [n^2 - 1] - 1
n^2 -1 / [n^2 + 2n ] - 1 den com:n^2 +2n
n^2 - 1 - (n^2 + 2n) / den com
n^2 - 1 - n^2 - 2n/ den com
-1 -2n /n^2 +2n
n>0 donc n^2 +2n>0 et -2n<0 donc -1 -2n<0 le numérateur est toujours négatif,le dénominateur est toujours positif donc le quotient est négatif
donc un+1/un - 1 <0 soit un+1/un <1 alors un+1 < un
la suite (un )est décroissante.
b)un+1=4^n+2+1 / 3^n+1
exprimons un+1 / un =[ 4^n+2+1 /3^n+1 ] /[ 4^n+2 / 3^n] or a/b= ax b^(-1)
=[4^n+2+1 / 3^n+1 ] x [3 ^n / 4^n+2 ]
=[4^n+2+1 x 3^n] / [3^n+1 x 4^n+2]
on peut simplifier les 2 termes du quotient par 4^n+2 et par 3^n
on obtient: un+1 / un = 4 / 3
le quotient est supérieur à 1 donc un+1 > un: la suite( un) est croissante.
