Réponse :
g est définie sur R par g(x) = x² - 21 x - 20
1) montrer que 5 est une racine de g(x)
g(5) = 5³ - 21*5 - 20
= 125 - 105 - 20
= 125 - 125
= 0
Donc g(5) = 0 ⇒ 5 est une racine de g(x)
2) expliquer pourquoi il existe des réels a, b , c tels que
g(x) = (x - 5)(a x² + b x + c)
puisque 5 est une racine de g(x) donc g(x) s'écrit par le produit d'un polynôme du 1er degré et par un polynôme du second degré de type
a x² + b x + c ; où a, b et c sont des réels car g(x) est de degré 3
3) développer (x - 5)(a x² + b x + c) et en déduire a, b et c
(x - 5)(a x² + b x + c) = a x³ + b x² + c x - 5a x² - 5b x - 5c
= a x³ + (b - 5a) x² + (c - 5 b) x - 5c
a = 1
b - 5a = 0 ⇔ b = 5
c - 5b = - 21
- 5c = - 20 ⇔ c = 20/5 = 4
g(x) = (x - 5)(x² + 5 x + 4)
4) résoudre alors l'équation g(x) = 0
g(x) = 0 ⇔ (x - 5)(x² + 5 x + 4) = 0 produit de facteurs nul
x - 5 = 0 ⇔ x = 5 ou x² + 5 x + 4 = 0
Δ = 25 - 16 = 9 > 0 l'équation possède 2 racines distinctes
x1 = - 5+3)/2 = - 1
x2 = - 5-3)/2 = - 4
S = {- 4 ; - 1 ; 5}
Explications étape par étape :
