Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
Pythagore dans OHM avec OM=1 et OH=x :
OH²+HM²=OM²
x²+HM²=1²
HM²=1-x²
HM=√(1-x²)
A noter que 1-x² est ≥ 0 pour 0 < x < 1.
2)
a)
g(x)=πx²√(1-x²) est de la forme u * v avec :
u=πx² donc u '=2πx
v=√(1-x²) donc v'=-2x/2√(1-x²)=-x/√(1-x²)
g '(x)=u'v+uv'
g '(x)=2πx*√(1-x²) -x/√(1-x²)
On réduit au même dénominateur qui est √(1-x²).
g '(x)=[2πx(√(1-x²))(√(1-x²) )- x] /√(1-x²)
g '(x)=[2πx(1-x²)-πx³] / √(1-x²)
g '(x)=(2πx-2πx³-πx³)/√(1-x²)
g 'x)=(2πx-3πx³) / √(1-x²)
g '(x)=πx(2-3x²) / √(1-x²)
b)
Le dénominateur de g '(x) est > 0. Le facteur πx est > 0.
Donc g '(x) est du signe de : 2-3x² qui est > 0 entre les racines car le coeff de x² est < 0.
2-3x²=0
x²=2/3
x=-√(2/3) ou x=+√(2/3)
Variation :
x------->0........................√(2/3)..................1
g '(x)--->...........+................0.............-...........
g(x)----->...........C...............?.............D.......
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
3)
OH=√(2/3) .
HM=√(1-(2/3)²)
HM=√(1-4/9)
HM=√(5/9)
Volume max =π*OH²*HM
V max=π*(2/3)*√(5/9) m³
4)
Tant que V < 1
x <--- x+0.001
