Réponse :
bonjour, le tarif des matériaux pour les bases et la surface latérale étant le même au m²(400€/m²) le prix de revient P(a) est minimal quand l'aire est minimale.
Explications étape par étape :
Soit A(a) l'aire totale de la boîte
A(a)=Aire des deux bases (2a²) +aire latérale (4a*h)
mais la hauteur V/aire de la base=27/a²
ce qui nous donne
A(a)=2a²+4a*27/a² =2a²+108/a=(2a³+108)/a (avec a >0)
Etudions la fonction A(a) sur ]0;+oo[
Dérivée A'(a)=[6a³-2a³-108)/a²= (4a³-108)/a²
A(a)=0 si 4a³=108 soit a³=27 ; solution a=3
Tableau de signes de la dérivée et de variations de la fonction
a 0 3 +oo
A'(a )II - 0 +
A(a) II+oo Décroi A(3) Croi +oo
L'aire est donc minimale pour a=3dm dans ce cas h=27/3²=3dm
la boîte est un cube de 3dm d'arête Aire minimale =A(3)=6*9=54dm²
Le prix de revient
sachant que 400€/m² = 4€/dm²
P(3)=3*54=162€
Si tu étudies directement la fonction P(a)
P(a)=4*A(a) le résultat sera le même mais tu vas calculer avec des nombres plus importants
