Réponse :
Bonjour
Ta dérivée n'est pas correcte.
1) La fonction g est définie et dérivable sur l'ensemble des réels comme somme de fonctions exponentielle et affine définies et dérivables sur R.
[tex]g'(x)=e^x-1[/tex]
2)
[tex]e^x-1\geq 0\\e^x\geq 1\\x\geq 0[/tex]par croissance de la fonction exponentielle sur R.
Ainsi g'(x) est positif sur [0; +∞[ et négative sur ]-∞; 0]
Par théorème, g est croissante sur [0; +∞[ et décroissante sur ]-∞; 0]
Etude des limites
[tex]\lim_{x \to -\infty} e^x=0[/tex] et [tex]\lim_{x \to -\infty} -x=+\infty[/tex] donc par somme des limites
[tex]\lim_{x \to -\infty} g(x)=+\infty[/tex]
[tex]g(x)=x(\frac{e^x}{x} -1)[/tex]
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} =+\infty[/tex] par croissance comparée
[tex]\lim_{x \to +\infty}( \frac{e^x}{x}-1) =+\infty[/tex] par somme
[tex]\lim_{x \to +\infty} x=+\infty[/tex]
donc
[tex]\lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty[/tex] par produit.
On a le tableau de variations suivant
x |-∞ 0 +∞
------------------------------
g'(x) | - 0 +
------------------------------
| +∞ +∞
g | ↘ 1 ↗
------------------------------
[tex]g(0)=e^0-0=1[/tex]
3) D'après le tableau de variation la fonction g admet un minimum de 1 en x =0 donc g(x) > 0
