Réponse :
1) reproduire la figure
/ P
C /
/\ /
R\ / \ /
\ / \ /
A \/.....................\/ B
2) placer les points P et R définis par
vec(BP) = 2vec(AC) et vec(AR) = 1/2vec(BC)
3) a) en utilisant la relation de Chasles, démontrer que
vec(CP) = vec(AB) + vec(AC)
vec(CP) = vec(CB) + vec(BP) relation de Chasles
= vec(CB) + 2vec(AC)
= vec(AC) + vec(CB) + vec(AC)
= vec(AB) + vec(AC)
b) en utilisant la relation de Chasles, démontrer que
vec(CR) = - 1/2(vec(AB) + vec(AC))
vec(CR) = vec(CA) + vec(AR) relation de Chasles
= vec(CA) + 1/2vec(BC)
= - vec(AC) + 1/2(vec(BA) + vec(AC)) relation de Chasles
= - vec(AC) + 1/2vec(BA) + 1/2vec(AC)
= - vec(AC) - 1/2vec(AB) + 1/2vec(AC)
= - 1/2vec(AB) - 1/2vec(AC)
= - 1/2(vec(AB) + vec(AC))
4) en utilisant les égalités trouvées à la question précédente, déterminer un réel k tel que vec(CP) = kvec(CR)
vec(CP) = vec(AB) + vec(AC)
vec(CR) = - 1/2(vec(AB) + vec(AC))
donc vec(CR) = - 1/2vec(CP) ⇒ vec(CP) = - 2vec(CR)
donc il existe un réel k = - 2 tel que vec(CP) = - 2vec(CR)
donc les vecteurs CP et CR sont colinéaires
5) en déduire que les points C , P et R sont alignés
puisque les vecteurs CP et CR sont colinéaires donc on en déduit que les points C, P et R sont alignés
Explications étape par étape :