Bonjour.
Le raisonnement par récurrence permet de démontrer une propriété pour tout entier n.
En gros, son fonctionnement c'est de dire :
- Ma propriété est bonne pour le premier entier n qui convient (en général 0).
C'est ce qu'on appelle l'initialisation.
- Je constate que si ma propriété est vraie pour un rang n quelconque, alors elle est vraie aussi au rang suivant (n+1). C'est ce qu'on appelle l'hérédité.
Donc ma propriété est vraie pour tout entier.
A présent revenons à notre exercice.
1) Ici notre suite est définie sur N. Son premier terme est donc u0.
On a u0 = 0
Donc 0 <= U0 <= 4 (Initialisation)
Soit n∈N un entier quelconque. Je suppose que ma propriété est vraie à ce rang. Donc 0 <= Un <= 4
J'ai donc 0<= 3Un <= 12
Donc 4 <= 3Un + 4 <= 16
Donc 2 <= √(3Un+4) <= 4 (car la fonction racine est croissante sur [4,16])
Donc 2 <= Un+1 <= 4
Donc par extension 0 <= Un+1 <= 4
La propriété est vraie au rang n+1.
(Hérédité)
On vient donc de démontrer par récurrence que ∀n∈N, 0 ≤ Un ≤ 4.
2) a) Soit n∈N. On a [tex]U_{n+1}^2 - U_{n}^2 = \sqrt{3U_n + 4} ^2 - U_n^2 = -U_n^2 + 3U_n + 4[/tex]
Et [tex]-(U_n + 1)(U_n - 4) = -Un^2 + 4 U_n - U_n + 4 = -U_n^2 + 3U_n + 4[/tex]
Donc [tex]U_{n+1}^2 - U_n^2 = -(U_n+1)(U_n-4)[/tex]
b) On sait que pour tout n ∈ N, 0≤Un≤4.
On étudie donc le signe de [tex]-(U_n+1)(U_n-4)[/tex] pour Un appartenant à [0;4].
On a Un+1 ≥ 0 et Un-4 ≤ 0
Donc [tex]-(U_n+1)(U_n-4)[/tex] ≥ 0
Donc [tex]U_{n+1}^2 - U_n^2 \geq 0[/tex]
Donc [tex]U_{n+1}^2 \geq U_n^2[/tex]
Or pour tout n ∈ N, Un ≥ 0.
Donc [tex]U_{n+1} \geq U_n[/tex]
Donc (Un) est croissante sur N
