Bonjour,
1) On suppose que 1/7 est un nombre décimal.
Notons d ce nombre.
Alors il existe un nombre fini n de décimal après la virgule de d.
Si on multiplie ce nombre d par 10^n, on décale la virgule n fois à droite.
Comme il y a exactement n chiffre après la virgule, le nombre 10^n * d est un entier. Notons a ce nombre.
Il existe donc n ∈ N et a ∈ N tel que [tex]\frac{10^n}{7} = a[/tex]
2) On a alors 10^n = 7a
Comme a est un entier, 10^n est donc un multiple de 7.
Il est alors divisible par 7.
3) Soit m ∈ N
On a 10^m = (2*5)^m = 2^m * 5^m
4) 7 n'est pas dans la décomposition de 10^m en produit de facteurs premiers.
Donc ∀n∈N, 10^n n'est pas divisible par 7.
Donc la propriété démontrée dans le 1) est fausse.
La supposition initiale comme quoi 1/7 est décimal est donc fausse.
1/7 n'est donc pas un nombre décimal.
