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Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour mon DM de maths de première spécial maths.

On considère la parabole (P) d’équation y=x². On note la fonction f définie par f(x)=x²

1. Soit M le point de la courbe d’abscisse a. Montrer que le nombre dérivé de f en a est 2a.

2. Soit (∆) la droite d’équation y= 2ax − a².
Montrer que la parabole (P) et la droite(∆) n’ont qu’un seul point commun M dont on donnera ses coordonnées.
On dit que la droite (∆) est tangente à la parabole (P)

Merci de votre aide.

Sagot :

BERNIE76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

f '(a) = limite [(f(a+h)-f(a))/h]  quand h tend vers zéro.

f(a+h)=(a+h)²=a²+2ah+h²

f(a)=a²

f(a+h)-f(a)=a²+2ah+h²-a²=2ah+h²=h(2a+h)

(f(a+h)-f(a))/h=h(2a+h)/h

On peut simplifier par "h" qui tend vers zéro mais est ≠ 0.

(f(a+h)-f(a))/h=2a+h

Quand h tend vers zéro :

lim [(f(a+h)-f(a))/h]=2a+0=2a

Donc :

f '(a)=2a

2)

On résout l'équation :

x²=2ax-a²

x²-2ax+a²=0 ==>on reconnaît  l'identité A²-2AB+B²=(A-B)²

avec A=x et B=a.

(x-a)²=0 qui donne une racine double :

x-a=0

x=a

Donc M(a;a²)