n(n²+2) est un multiple de 3
On a tout n peut être écrit sous la forme 3k ou 3k+1 ou 3k+2
On va étudier ces cas
1)Si n=3k
On remplace n par sa valeur
3k((3k)²+2)
=3(k((3k)²+2))
Donc c'est un multiple de 3
2)Si n=3k+1
On remplace n par sa valeur
(3k+1)((3k+1)²+2) Rappel: (a+b)²=a²+2ab+b²
=(3k+1)(9k²+6k+1+2)
=(9k²+6k+3)(3k+1)
=3(3k²+2k+1)(3k+1)
Donc c'est un multiple de 3
3)Si n=3k+2
On remplace n par sa valeur
(3k+2)((3k+2)²+2) Rappel: (a+b)²=a²+2ab+b²
=(3k+2)(9k²+12k+4+2)
=(9k²+12k+6)(3k+2)
=3(3k²+4k+2)(3k+2)
Donc c'est un multiple de 3
Alors quelque soit la valeur de n(n²+2) est un multiple de 3
Et voilà!
