Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-2;3), B(-3;1) et C(4;0) et on note H le pied de la hauteur du triangle ABC issue du point A c’est-à-dire le point d’intersection entre la hauteur issue de A et la droite (BC).
1.Faire la figure de l’énoncé. Si vous ne savez plus ce qu’est une hauteur vous pouvez faire une rapide recherche sur le web.
2.Montrer que AB=√5, BC=√50et AC=√45
3.Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
4.Ecrire les distance BC et AC sous la forme a√kvue en classe.
5.Calculer l’aire de triangle ABC.
6.En déduire la hauteur AH.
merci de bien y répondre
bonne journée

[tex]x_A - x_B[/tex] pour calculer la distance entre A et B au niveau de l'axe des abscisses (avec [tex]x_A > x_B[/tex] car une distance/longueur est positive).

[tex]y_A - y_B[/tex] pour calculer la distance entre A et B au niveau de l'axe des ordonnées (avec [tex]y_A > y_B[/tex] car une distance/longueur est positive).
On calcule la racine de la somme des carrées des deux distances trouvées (comme si on avait un triangle rectangle dans lequel AB est l'hypoténuse).

Note (en sautant les étapes): [tex](x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2[/tex]

L'ordre des coordonnées n'a pas d'importance, car un carré est toujours positif.

[tex]AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\\\= \sqrt{(-2 - (-3))^2+(1-3)^2}\\\\= \sqrt{1 + 4}\\\\= \sqrt{5}[/tex]

Le même raisonnement s'applique pour les longueurs BC et AC.

[tex]BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2+(y_C - y_B)^2}\\\\= \sqrt{(4-(-3))^2+(0-1)^2}\\\\= \sqrt{49 + 1}\\\\= \sqrt{50}[/tex]

[tex]AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\\\= \sqrt{(4 - (-2))^2+(0 - 3)^2}\\\\= \sqrt{36 + 9}\\\\= \sqrt{45}[/tex]

3) On sait qu'ABC est un triangle tel que AB = √5 ; BC = √50 et AC = √45.

[tex]BC^2 = \sqrt{50}^2 = 50[/tex]

[tex]AB^2 + AC^2 = \sqrt{5}^2 + \sqrt{45}^2 = 50[/tex]

On constate que BC² = AB² + AC²

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

4) BC = √50

= √25 × √2

= 5√2

AC = √45

= √9 × √5

= 3√5

5) Dans le triangle ABC rectangle en A, on a la base AB et la hauteur AC.

[tex]A_{ABC} = \dfrac{b \times h}{2}\\\\= \dfrac{AB \times AC}{2}\\\\= \dfrac{\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}{2}\\\\= \dfrac{15}{2}[/tex]

6) L'aire d'ABC peut également se calculer avec la base BC et la hauteur AH.

[tex]A_{ABC} = \dfrac{b \times h}{2}\\\\A_{ABC} = \dfrac{BC \times AH}{2}\\\\\dfrac{15}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \times AH\\\\AH = \dfrac{\dfrac{15}{2}}{\dfrac{5\sqrt{2}}{2}}\\\\AH = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]

Sagot :

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