Bonjour,
Réponse courte : d) 3/16 (mais seulement si RSTU est un carré)
Réponse justifiée :
On cherche la fraction du triangle MNT par rapport au rectangle RSTU.
Notons l la largeur du rectangle (RU ou ST), et L la longueur (UT ou RS)
L'aire du rectangle RSTU est lxL unités d'aire.
Aire du triangle RST :
(RT) divise le rectangle RSTU en deux, alors l'aire de RST est (lxL)/2 unités d'aire.
Aire de MUT :
Dans un rectangle, les angles sont droits. Donc le triangle MUT est rectangle en U. L'aire de MUT est donc égal à MU x UT / 2.
M est le milieu de [RU], donc MU = l/2
L'aire de MUT est alors Lx(l/2)/2 = (lxL)/4 unités d'aire.
Calcul Longueur MT:
Dans le triangle MUT rectangle en U, on applique le théorème de Pythagore qui dit :
Dans un triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Donc MT² = MU² + UT²
Donc MT² = (l/2)² + L²
MT² = l²/4 + L²
MT > 0 car MT est une longueur donc :
MT = [tex]\sqrt{l^2/4 + L^2}[/tex] unités.
Aire de RMT :
On sait que l'aire du triangle RMT est égal à l'aire du rectangle RSTU en retirant l'aire des deux triangles précédemment calculé.
C'est à dire : lxL - (lxL)/2 - (lxL)/4 = lxL/4 unités d'aire.
Calcul Longueur MN:
Or l'aire du triangle RMT peut également être calculée à l'aide de la formule base x hauteur / 2.
Comme (MN) est perpendiculaire à la droite(RT), on peut prendre MN pour la hauteur et RT la base.
On a alors (MN x RT) / 2 = lxL/4
Or RT est la diagonale du triangle RTU rectangle en U, on peut donc calculer sa longueur à l'aide du théorème de pythagore :
On a RT² = RU² + UT²
Donc RT² = l² + L² et RT > 0 car c'est une longueur, donc
RT = [tex]\sqrt{l^2 + L^2}[/tex] unités.
On a alors (MN x [tex]\sqrt{l^2 + L^2}[/tex] ) / 2 = lxL/4
Donc MN = (lxL)/2([tex]\sqrt{l^2 + L^2}[/tex] ) unités.
Calcul Longueur NT:
(MN) est perpendiculaire à la droite (RT). Donc le triangle MNT est rectangle en N.
On applique le théorème de Pythagore :
MT² = MN² + NT²
Donc NT² = MT² - MN²
On remplace par les valeurs numériques :
NT² = (l²/4 + L²) - (l²xL² / 4(l² + L²))
Donc NT² = (l² + 2L²)² / 4(l²+L²)
NT > 0 donc NT = (l² + 2L²) / 2([tex]\sqrt{l^2 + L^2}[/tex] ) unités.
Aire du triangle MNT (partie grisée):
L'aire du triangle MNT est donc égale à (MN x NT) / 2
On remplace par les valeurs numériques :
(MN x NT) / 2 = [tex]\frac{1}{2}* \frac{lL}{2\sqrt{l^2 + L^2} }[/tex] * [tex]\frac{l^2 + 2L^2}{2\sqrt{l^2+L^2} }[/tex]
= [tex]\frac{lL(l^2 + 2L^2)}{8(l^2+L^2)}[/tex] unités d'aire.
Au final la fraction que représente le triangle grisé par rapport au rectangle est : [tex]\frac{l^2 + 2L^2}{8(l^2 + L^2)}[/tex]
On ne peut pas conclure sur la réponse à donner.
Si on suppose que le rectangle RSTU est un carré (c'est à dire l=L),
Alors l'aire du rectangle serait égal à L²
L'aire du triangle grisé serait égal à L²(3L²) / 16L² = (3/16)L²
soit 3/16 de l'aire du rectangle.
