Réponse :
Bonsoir,
Explications étape par étape :
Initialisation :si n=0, U(0)=2 et 0-3 < 2 < 0+3 est vrai
Hérédité:
On suppose la proposition vrai pour n et on démontre qu'elle est vrai pour n+1
[tex]n-3 < U_n < n+3\ est\ vrai\\\Longrightarrow \ \dfrac{2}{3} *(n-3) < \dfrac{2}{3}*U_{n} <\dfrac{2}{3} *(n+3)\\\\\Longrightarrow \ \dfrac{2}{3} *(n-3) +\dfrac{1}{3} *n +1 < \dfrac{2}{3}*U_{n} +\dfrac{1}{3} *n +1 < \dfrac{2}{3} *(n+3)+\dfrac{1}{3} *n +1\\\\\Longrightarrow \ \dfrac{2}{3} *(n-3) +\dfrac{1}{3} *n +1 < U_{n+1} < \dfrac{2}{3} *(n+3)+\dfrac{1}{3} *n +1\\\\\Longrightarrow \ n-1 < U_{n+1} < n+\dfrac{5}{3}\\\\\Longrightarrow \ n-3 < n-1 < U_{n+1} < n+\dfrac{5}{3} < n+3\\[/tex]