Bonjour,
a) Dire que x est racine de f, signifie que f(x) = 0
Ici on cherche à savoir si -1 est racine de f.
On calcule donc f(-1) = -4(-1)^3 -9(-1)² -(-1) + 4
f(-1) = 4 - 9 + 1 + 4 = 0
Donc -1 est bien racine de f.
B. On cherche a,b,c tels que f(x) = (x+1)(ax² + bx + c)
f(x) = ax^3 + bx² + cx + ax² + bx + c
f(x) = ax^3 + (a+b)x² + (b+c)x + c
Deux polynômes sont égaux si leurs coefficients sont égaux.
Donc a = -4
a+b = -9 donc b = -9 + 4 = -5
b + c = -1 donc c = -1 -(-5) = 4
C. On a : f(x) = (x+1)(-4x² -5x +4)
On cherche à savoir quand f(x) > 0
Il nous faut le tableau de signe de -4x² -5x +4.
On calcule son discriminant :
Δ = (-5)² -4((-4)(4)) = 25 + 64 = 89
Donc les racines de -4x² -5x +4 sont :
(-5 - √89) / 8 et (-5 + √89) / 8
-4x² -5x +4 est négatif sur ]-∞; (-5 - √89) / 8], positif sur
[(-5 - √89) / 8;(-5 + √89) / 8] puis négatif sur [(-5 + √89) / 8; +∞[
x+1 est négatif sur [-∞;-1] et positif sur [-1;+∞[
-1 est compris entre (-5 - √89) / 8 et (-5 + √89) / 8
Donc f(x) est positif sur ]-∞; (-5 - √89) / 8], négatif sur [(-5 - √89) / 8;-1],
positif sur [-1; (-5 + √89) / 8] puis négatif sur [(-5 + √89) / 8; +∞[
PS : fais un tableau de signe pour que ce soit plus clair :)