LAMIAA2004ADNANE
Answered

Salut ! Veuillez m'aider à cet exercice , Svp :

• Ex : Montrer par récurrence :
( n∈ℕ )( ∀n≥24 )( ∃( p,q )∈ℕ ) ; n = 5p + 7q

Merci d'avance !​

Sagot :

CAYLUS

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

n ≥24

n=5*p+7*q

Initialisation:

24=5*2+7*2=10+14=24 est vrai

Hérédité:

n=5*p+7*q

n+1=5*p+7*q+1=5*p+7*q+5*3-7*2=5(p+3)+7(q-2)

Si q ≥ 2 , c'est vérifié.

  • si q=0

      n+1=5*(p+3)-14 ≥ 25  ==> p ≥ 5

      Posons p=p'+5 ou p'=p-5  (p' ≥ 0)

      n+1=5(p+3)-14

            =5(p'+5+3)-7*2

            =5*(p'+7+1)-7*2

             =5*(p'+1)+7*(-2+5)

              =5(p'+1)+7*3 donc vérifié

  • si q=1

         n+1=5*(p+3)+7*(-1) ≥  25 ==> p ≥  4

         Posons p=p'+4 ou p'=p-4 (p' ≥ 0)

         n+1=5(p+3)+7*(-1)

                =5*(p'+4+3)+7*(-1)

                 =5*p'+7(-1+5)

                  =5*p' +7*4 vérifié.