Réponse :
bonjour
Explications étape par étape :
Une urne contient 100 petits cubes en bois ⇒ 60 sont bleus et les autres rouges.
Parmi les cubes bleus
40 % ont leurs faces marquées d’un cercle⇒ 0,4
20 % ont leurs faces marquées d’un losange ⇒ 0,2
les autres ont leurs faces marquées d’une étoile⇒ 1 - 0,4 - 0,2 ⇒0,4
Parmi les cubes rouges
20 % ont leurs faces marquées d’un cercle⇒ 0,2
x % ont leurs faces marquées d’un losange ⇒ 1x/100 ⇒ 0,01x
les autres ont leurs faces marquées d’une étoile ⇒1 - 0,2 - 0,01x
⇒0,8 - 0,01x
1) voir pièce jointe
2) Démontrer que la probabilité p(L) de tirer un cube marqué d’un losange est ⇒ 0,12 + 0,004 x.
p(L) = p(B ∩ L) + p(R ∩ L)
p(B∩L)= 0,6 x 0,2
p(R∩L) = 0,4 x 0,01x
p (L) 0,6 x 0,2 + 0,4 x 0,01x
p(L) = 0,12 + 0,004x.
3) Déterminer x pour que : p(L) = p(E) avec p(E) cubes avec une étoile
⇒p(L) = 0,12 + 0,004x
⇒p(E) = p (B ∩ E) + p (R ∩ E)
p (B ∩ E) = 0,6 x 0,4 = 0,24
p(R ∩ E) = 0,4 x (0,8 - 0,01x) = 0,32 - 0,004x
donc p(E) = 0,24 + 0,32 - 0,004x = 0,56 - 0,004x
donc on cherche x pour que p(L) = p(E)
⇒ 0,12 + 0,004x = 0,56 - 0,004x
⇒0,004x + 0,004x = 0,56 - 0,12
⇒0,008x = 0,44
⇒ x = 0,44 / 0,008
⇒ x = 55 ⇒ p(L) = p(E)
4) Déterminer x pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » soient indépendants.
évènement indépendant:" la réalisation ou la non réalisation de l’un n’affecte pas la probabilité de la réalisation de l’autre."
on sait que p(L) = 0,12 + 0,004 x
Les évènements p(B) et p(L) sont indépendants si:
⇒p (B ∩ L) = p(B) x p(L) avec p (B ∩ L) = 0,6 x 0,2 = 0,12
p(B) x (p(L ) = 0,6 x ( 0,12 + 0,004x)
= 0,072 + 0,0024x
⇒ 0,12 = 0,072 + 0,0024x
⇒ 0,0024x = 0,12 - 0,072
⇒ 0,0024x = 0,048
⇒ x = 0,048/ 0,0024
⇒ x = 20
pour x = 20 ⇔ p(B) et p(L) sont indépendants
5) si x = 50 ,quelle est la probabilité de tirer un cube bleu marqué d’un losange.
⇒ pB(L) = p (B ∩ L)/ p(L)
avec x = 50 ⇒ p(L) = 0,12 + 0,004 × 50
⇒p(L) = 0,32
pB(L) = 0,6 x 0,2 / 0,32
pB(L) = 0,12/0,32
pB(L) = 3/8= 0,375
