Réponse :
Attention f'(x) = e^x(2 + x)
et g'(x) = [x+e^(1/x)(1+x)]/x.(1+e^(1/x))²
Tu as sans doute oublié la fonction composée...
Bonne soirée
Explications étape par étape :
Réponse:
f( x) = 1 + exp(x) + xexp(x)
la dérivée de xexp(x) est : xexp(x) + exp(x)
donc f' (x) = exp(x) + xexp(x) + exp(x)
= 2exp(x) + xexp(x)
f'(x) = exp(x) ( 2 + x ) donc ta dérivée n'est pas juste
g(x)= x/(1+exp(1/x))
==> g'(x) = (x/(1+exp(1/x)) )'
= (x'(1 +exp(1/x) ) - (1 + exp(1/x))' × x )/ (1 + exp(1/x))²
= (1 + exp(1/x) - (- exp(1/x)/x²) × x) / (1 + exp(1/x))²
= (1 + exp(1/x) + exp(1/x)/ x) / (1 + exp(1/x))²
= (x(1 + exp(1/x)) + exp(x) )/x / (1 + exp(1/x))²
g'(x) = (exp(1/x)(1 + x) + x) )/x / (1 + exp(1/x) )²
Explications étape par étape:
la dérivée de x est : 1 et la dérivée de 1 est : 0
la dérivée de exp(x) est : exp(x)
♦xexp(x) est une fonction composée soit f(x) = x
et g(x) = exp(x)
(f × g)' = f' x g + g' × f
= x' × exp(x) + exp(x)' × x
= 1 × exp(x) + xexp(x)
= exp(x) (1 + x)
♦exp(1/x) est une fonction composée.
soit f(x)= exp(x) et g(x) = 1/x ==> g'(x) = -1/x²
la dérivée de u/v = (u'v - v'u) /v²
(f o g)' = f'[g(x)] × g'
= exp(1/x) × (-1/x²)
= exp(x) × -1/x²
= - exp(x)/x²