Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Exo 2 :
1)
On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur.
x²-4x+3=0
Une racine évidente est x=1 car 1²-4*1+3=0.
La 2ème est donc x=3 car (x-1)(x-3)=x²-4x+3.
Df=IR - {1;3}
2)
Limite en x=1 avec x < 1 :
Le numé 2x²-8x+5 tend vers -1 qui est négatif et le déno tend vers 0 par valeurs positives . Le quotient est donc négatif.
lim f(x)=-∞
x--->1
x < 1
Limite en x=1 avec x > 1 :
Là , le déno tend vers 0 par valeurs négatives . Le quotient est donc positif.
lim f(x)=+∞
x-->1
x > 1
Limite en x=3 avec x < 3 :
Le numé tend vers 2*3²-8*3+5=-1 qui est négatif.
Le déno tend vers 0 par valeurs négatives.
Donc le quotient tend vers +∞
lim f(x)=+∞
x--->3
x < 3
Limite en x=3 avec x > 3 :
Là, le déno tend vers 0 par valeurs positives.
Le quotient tend donc vers 0 par valeurs négatives.
lim f(x)=-∞
x -->3
x > 3
limite en -∞ et +∞ :
f(x)=[x²(2--8/x+5/x²] / [x²(1-4/x+3/x²]
On peut simplifier par "x²" :
f(x)=(2-8/x+5/x²) / (1-4/x+3/x²)
Quand x tend vers -∞ ou +∞ : 8/x , 5/x² , 4/x , 3/x² tendent vers zéro.
lim f(x)=2/1=2
x--->-∞
lim f(x)=2
x--->+∞
3)
Cf a donc 3 asymptotes . Les droites :
x=1
x=3
y=2
4)
f(x) est de la forme u/v avec :
u=2x²-8x+5 donc u '=4x-8
v=x²-4x+3 donc v '=2x-4
f '(x)=[(4x-8)(x²-4x+3)-(2x-4)(2x²-8x+5)] / (x²-4x+3)²
f '(x)=[2(2x-4)(x²-4x+3)-(2x-4)(2x²-8x+5)] / (x²-4x+3)²
f '(x)=[(2x-4)(2x²-8x+6)-(2x-4)(2x²-8x+5)] / (x²-4x+3)²
f '(x)=[(2x-4)(2x²-8x+6-2x²+8x-5) / (x²-4x+3)²
f '(x)=(2x-4)/(x²-4x+3)²
f '(x) > 0 pour 2x-4 > 0 soit x > 2.
Variation :
x------->-∞..................1..................2................3................+∞
f '(x)---->..........-.........||.........-........0..........+.....||......+........
f(x)----->...........D.......||........D........3..........C.....||.....C....
D=flèche qui descend et C = flèche qui monte.
5)
f '(0)=-4/3²=-4/9
f(0)=5/3
y=-(4/9)(x-0)+5/3
T ==> y=-(4/9)x+5/3
6)
Tu cherches quand :
(2x²-8x+5)/(x²-4x+3) - [-(4/3)x+5/3)] > 0 soit :
(2x²-8x+5)/(x²-4x+3) + (4/3)x-5/3 > 0
(2x²-8x+5)/(x²-4x+3) + (4x-5)/3 > 0
Il faut réduire au même dénominateur :
(2x²-8x+5)+(4x-5)(x²-4x+3) / (x²-4x+3 ) > 0
Là j'abandonne : on va arriver à un numérateur de degré 3.!
7)
a)
f(2-x)=[2(2-x)²-8(2-x)+5] / [(2-x)²-4(2-x)+3]
Je te laisse développer et trouver à la fin :
f(2-x)=(2x²-3)/(x²-1)
f(2+x)=f(2+x)=[2(2+x)²-8(2+x)+5] / [(2+x)²-4(2+x)+3]
Je te laisse développer et trouver à la fin :
f(2+x)=(2x²-3)/(x²-1)
Donc :
f(2-x)=f(2+x)
b)
Ce qui prouve que la droite x=2 est axe de symétrie pour Cf.
