Bonjour,
Pour n = 0, on a 0^3 + 5*0 = 0, qui est divisible par 6. D'où l'initialisation.
On suppose que la propriété est vraie au rang N, on a alors :
N^3 + 5N divisible par 6.
On veut montrer que la propriété est alors vraie au rang N+1.
Or on a (N+1)^3 + 5(N+1) = N^3 + 3N^2 + 3N + 1 + 5N + 5
= (N^3 + 5N) + 3N^2 + 3N + 6
Or N^3 + 5N est divisible par 6
Et 6 est divisible par 6.
Il reste à voir si 3N^2 + 3N est divisible par 6.
Ou plus simplement si N^2 + N est pair ?
On a N^2 + N = N(N+1)
Si N est pair alors N est un multiple de 2. et N(N+1) l'est aussi.
Si N est impair, N+1 est un multiple de 2. Donc N(N+1) l'est aussi.
Donc on a bien (N+1)^3 + 5(N+1) divisible par 6.
D'où l'hérédité.
A = n^4 + 5n^2 + 12 = n(n^3 + 5n) + 12
Or n^3 + 5n est un multiple de 6 et 12 aussi donc A est un multiple de 6.
B = n^3 + 17n + 18 = n^3 + 5n + 12n + 18.
Or n^3 + 5n est un multiple de 6 et 12n+18 aussi donc B est un multiple de 6.
C = n^3 + 2009n = n^3 + 5n + 2004n.
Or n^3 + 5n est un multiple de 6 et 2004n aussi (2004 = 34x6) donc C est un multiple de 6.
D= (n^2 + n)(n^2 + 5) = n^4 + 5n^2 + n^3 + 5n = n(n^3 + 5n) + (n^3 + 5n)
Donc D est un multiple de 6.
Voilà bonne journée,
