Hello !
On remarque plusieurs choses :
En posant n>1, le nombre d'étage et C(n) le nombre de cartes pour un chateau de n étages,
Pour avoir le nombre de cartes du chateau C(n)
Il faut compter les cartes des n-1 premiers étages C(n-1), et le nombre de carte du dernier étage E(n) :
Donc C(n) = E(n)+ C(n-1)
Pour le E(n), on remarque, qu'il y a autant de pont de deux cartes que d'étages dans le chateau => Donc n ponts de 2 cartes.
Sur chaque pont il y a une carte de posée dessus !
Comme il y a n ponts, il y a n-1 cartes de posées en tout.
Donc E(n) = 2n + n - 1 = 3n - 1
On a Cn = En + E(n-1) + ... + E(2) + C(1)
Or C(1) = 2 (nombre de cartes pour chateau d'un étage)
Et E(1) = 3*1 - 1 = 2
On peut remplacer alors C(1) = E(1)
Et C(n) = E(n) + E(n-1) + ... + E(2) + E(1) = ∑E(i) pour i allant de 1 à n.
Donc C(n) = ∑(3i-1) = ∑3i - n = 3∑i - n = (3(n(n+1)) / 2) - n
En développant cette dernière expression on tombe sur :
C(n) = (3n^2 + n) / 2
En remplaçant n par 25, on a :
C(25) = 950 cartes.
Ce qui est la réponse à la question.
Bonne journée,
