Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Partie A : c'est du niveau de seconde voire 3ème excepté pour f'(1) niveau 1ère.
1) f(0)=2 coordonnées de A
f(2)=0 coordonnées de B
2)f'(1)=0 coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x=1 (tangente horizontale)
3) Equation de la tangente en A (T) y=x+2 (équation d'une droite du plan connaissant deux points prog 2de)
4) f(x)=1 a deux solutions (il suffit de regarder la courbe)
5) f(x) est croissante sur [-10; 1[ et décroissante sur ]-1; 2]
6) convexe sur [10;0[ et concave sur ]1; 2]
Partie B (un petit niveau de terminale c'est une fonction basique)
f(x)=(2-x)e^x
1a)f(0)=2e^0=2 et f(2)=(2-2)e²=0e²=0
1b) f'(x)=-1e^x +(e^x)(2-x)=(1-x)e^x d'après formule de la dérivée d'un produit (u*v)'=u'v+v'u et sachant que la dérivée de e^x est e^x.
1c)f'(1)=(1-1)e=0 donc f'(1)=0
2) Equation de la tangente au point d'abscisse x=0 (formule à connaître)
y=(f'0)(x-0)+f(0)=1x+2=x+2
3a) f'(x)=0 pour x=1
Tableau de signe de f'(x) et de variations de f(x)
x -10 1 2
f'(x)...............+........................0............-..................
f(x)f(-10).......C.......................f(1)..........D..................f(2)
f(-10)=5*10^-4 (environ)
f(1)=e (2,72 environ)
et f(2)=0
3b) f(x)=1 d'après le TVI on note que l'équation f(x)=1 admet 2 solutions
une sur [-10;1[ x=-1,1 (environ) et une sur ]1;2] x=1,84 (environ)
4) sans logiciel : calculons la dérivée seconde f"(x)=-1e^x+(1-x)e^x=-xe^x
f"(x)=0 pour x=0
on note que f"(x) >0 pour x<0 donc sur [-10; 0[ la courbe est convexe et inversement si x>0, f"(x) est <0 donc la courbe est concave sur ]0;2]
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