Réponse :
Explications étape par étape :
■ tableau-résumé :
rang --> 1 2 3 4 5 6 8 10 15 20
nb triangles -> 1 3 9 27 65 131 379 835 3305 8475
■ on observe la formule explicite suivante :
Tn = (4/3)n³ - 6n² + (32/3)n - 5
■ formule par récurrence :
Tn+1 = (4/3)(n+1)³ - 6(n+1)² + (32/3)(n+1) - 5
= (4/3)(n³ + 3n² + 3n +1) - 6(n² + 2n + 1) + (32/3)(n+1) - 5
= (4/3)n³ + 4n² + 4n + (4/3) - 6n² - 12n - 6 + (32/3)n + (32/3) - 5
= (4/3)n³ - 6n² + (32/3)n - 5 + 4n² - 8n + 6
Tn+1 = Tn + 4n² - 8n + 6 .
vérif avec T6 :
T6 = T5 + 4*5² - 8*5 + 6
= 65 + 100 - 40 + 6
= 131 triangles !
