Bonjour, ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre cette exercice s'il vous plaît.
Lucas passe ses vacances chez son grand-père, qui veut créer deux enclos dans son jardin pour ses animaux. Il ne souhaite pas que les deux enclos se touchent, et décide donc d'organiser son jardin comme sur le schéma ci-contre. Son jardin est le rectangle ABCD, AB mesure 13 mètres et AD 7 mètres. Les deux enclos sont les rectangles BEFG et FHDI. Enfin, AGFI est un carré. Le grand-père souhaite perdre le moins d'espace possible, il se demande donc quelle longueur donner au segment [AI] pour minimiser l'espace restant.

1. Exprimer l'aire restante du jardin'en fonction de x. On note f la fonction donnant l'aire restante en fonction de x.

Question

Answered

Sagot :

CROISIERFAMILY CROISIERFAMILY · Answer 1 · 2021-10-09T13:06:19+02:00

Réponse :

la réponse cherchée est AI = 5 mètres ;

l' Aire TOTALE restante est alors minimale ( 41 m² ) ;

et on a juste un point F de contact entre les deux enclos ! ☺

Explications étape par étape :

■ Aire TOTALE jardin = 13*7 = 91 m²

■ soit la longueur AI = x mètres

et DH = (13-x) mètres

■ Aire carré AGFI = x² ( avec x < 7 mètres ! )

■ Aire rectangle FHDI = (7-x) * x

■ Aire rectangle BEFG = (13-x) * x

■ Aire restante partielle = (13-x) * (7-x)

donc Aire TOTALE restante = x² + 91 - 13x - 7x + x²

= 2x² - 20x + 91

■ étude de f(x) = 2x² - 20x + 91 :

cette fonction est représentée par une Parabole en U

admettant un Minimum pour x = 5 mètres

tableau de la fonction f :

x --> 0 1 3 5 6 7

varia -> décroissante | croiss.

f(x) --> 91 73 49 41 43 49

■ vérif pour x = 5 mètres :

Aire du carré = 25 m²

Aire FHDI = 2 * 5 = 10 m²

Aire BEFG = 8 * 5 = 40 m²

Aire restante partielle = 8 * 2 = 16 m²

Aire TOTALE restante = 2*5² - 20*5 + 91 = 41 m²

Aire TOTALE jardin = 10 + 40 + 41 = 91 m²

■ la réponse cherchée est bien AI = 5 mètres ;

l' Aire TOTALE restante est alors minimale ( 41 m² ) ;

et on a juste un point F de contact entre les deux enclos ! ☺