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1)
x² - y² = 31
(x - y)(x + y) = 31
x et y sont des naturels, il en est de même de x - y et x + y
on cherche 2 naturels dont le produit est 31
31 est premier, il n'y a qu'une seule possibilité 31 = 1 * 31
(x - y)(x + y) = 1*31 (x - y est plus petit que x + y)
d'où
x - y = 1 (1) et x + y = 31 (2)
on additionne (1) et (2) membre à membre, on obtient
2x = 32
x = 16 et y = 15
il n'y a qu'un couple de naturels répondant à la question
(16 ; 15)
2)
√(k² + 31) est un naturel, soit n
√(k² + 31) = n
k² + 31 = n²
n² - k² = 31
c'est la même expression que dans 1) avec n = x et k = y
on a trouvé une solution (16 ; 15)
il existe donc une valeur de k : c'est 15
k = 15
