bjr
appelle Φ l'unique solution positive de x² = x + 1
1) Donner la valeur exacte et la valeur approchée à 10^-3 de Φ
• racines du trinôme x² = x + 1
x² - x - 1 = 0
Δ = b²− 4ac = (-1)² - 4*1*(-1) = 1 + 4 = 5 ; 5 > 0
il y a deux racines
x1 = (1 + √5)/2 et x2 = (1 - √5)/2
x2 < 0
la seule solution positive de cette équation est (1 + √5)/2
valeur exacte du nombre d'or
Φ = (1 + √5)/2
valeur approchée à 10⁻³ près [ (1 + √5)/2 = 1,61803398875.... ]
Φ = 1,618
2) Exprimer Φ² en fonction de Φ et 1
Φ est solution de l'équation x² - x - 1 = 0
d'où
Φ² - Φ - 1 = 0
Φ² = Φ + 1
3) Exprimer Φ³ en fonction de Φ et 1
Φ³ = Φ² * Φ
= (Φ + 1) * Φ
= Φ² + Φ
= (Φ + 1) + Φ
= 2Φ + 1
4) Conjecturer Φ²⁰²¹ en fonction de Φ et 1
calculons Φ⁴ calculons Φ⁵
Φ⁴ = Φ³ * Φ Φ⁵ = Φ⁴ * Φ
= (2Φ + 1) * Φ = (3Φ + 2) * Φ
= 2Φ² + Φ = 3Φ² + 2Φ
= 2(Φ + 1) + Φ = 3(Φ + 1) + 2Φ
= 3Φ + 2 5Φ + 3
on a trouvé
Φ² = Φ + 1
Φ³ = 2Φ + 1
Φ⁴ = 3Φ + 2
Φ⁵ = 5Φ + 3
on observe que
Φ⁴ = Φ² + Φ³
Φ⁵ = Φ³ + Φ⁴ somme des deux qui précèdent
Φ²⁰²¹ = Φ²⁰¹⁹ + Φ²⁰²⁰
désolée, je ne sais pas aller plus loin
