Réponse :
la suite (Un) étant décroissante et minorée par 3,3
est bien convergente vers sa Limite 3,303 ( environ ! )
Explications étape par étape :
■ Uo = 5 ; Un+1 = √(3Un + 1)
■ ainsi U1 = 4 ; U2 = √13 ≈ 3,6 ; U3 ≈ 3,44 ; U4 ≈ 3,36 ; ...
on observe que la suite (Un) est positive, et décroissante
■ récurrence :
Un+1 < Un donne √(3Un + 1) < Un
3Un + 1 < Un²
Un² - 3Un - 1 > 0
(Un - 3,303) (Un + 0,303) > 0
or Un est toujours positif
donc il faut Un > 3,303
et on a bien Uo = 5 > 3,303
conclusion :
la suite (Un) est bien décroissante !
■ autre méthode pour chercher sa Limite :
L = √(3L + 1) donne L² = 3L + 1
L² - 3L - 1 = 0
L ≈ 3,303
conclusion :
on peut admettre que la suite (Un) est minorée par 3,3 .
■ conclusion finale ☺ :
la suite (Un) étant décroissante et minorée par 3,3
est bien convergente vers sa Limite 3,303 ( environ ! )